7.1 - Algebra booleana

Abbiamo già detto che gli elaboratori si basano sui circuiti elettronici digitali che, ad alto livello, possono essere visti come un insieme più o meno complesso di interruttori, proprio come quelli che possiamo trovare in un normalissimo impianto elettrico.

Per capirci meglio, pensiamo agli interruttori presenti nelle nostre case: questi sono caratterizzati esclusivamente da due stati di funzionamento, ovvero aperto e chiuso. Nello stato di funzionamento aperto, il circuito viene "interrotto", rendendo impossibile il passaggio della corrente; ciò, di conseguenza, impedisce che le lampadine nella stanza si accendano. Nello stato di funzionamento chiuso, invece, la corrente scorre normalmente nel circuito, illuminando le lampadine presenti nella stanza.

Interruttori e resistenza

I più esperti noteranno che il circuito aperto ha resistenza infinita, il che significa che la corrente che scorre è nulla. Invece, il circuito chiuso ha resistenza nulla, il che significa che la corrente che scorre è massima (non infinita).

Sfruttando il funzionamento base dei circuiti, è possibile modellare delle situazioni più o meno complesse. Facciamo un semplice esempio nel mondo reale: immaginiamo due stanze adiancenti, ciascuna dotata di una porta dalla quale è possibile dedurre se la luce sia o meno accesa all'interno della singola stanza. Ponendoci come osservatori esterni, potremo trovarci in una tra le seguenti casistiche:

• caso 1: entrambe le luci sono accese, per cui è plausibile che ci siano due persone, una in ciascuna stanza;
• caso 2: entrambe le luci sono spente, per cui è plausibile che non ci sia nessuno;
• caso 3: una luce è accesa, per cui è plausibile che ci sia una persona nella stanza illuminata.

Se ponessimo quindi la domanda c'è qualcuno in casa, potremmo rispondere in maniera affermativa nel caso 1 (c'è una persona nella prima stanza, ed una persona nella seconda) e nel caso 3 (c'è una persona nella prima stanza o nella seconda stanza), ed in maniera negativa nel caso 2. Immaginiamo di estendere questo scenario ad una casa a più stanze: è facile comprendere come, combinando delle semplici informazioni di tipo binario, si riesca a modellare uno scenario arbitrariamente complesso.

Interpretazione del risultato ottenuto

Notiamo come l'osservazione dello stato di accensione delle luci non ci permetta di definire con certezza quante persone ci sono in casa, ma soltanto che c'è qualcuno in casa. In altri termini, non possiamo dare una risposta quantitativa, ma soltanto una binaria.

A questo punto è lecito farsi una domanda: esiste un modo formale per determinare se è presente una persona in casa a partire dalle precedenti considerazioni partendo da una serie di regole ben definite? Prevedibilmente, la risposta a questa domanda è affermativa, ed è definita grazie alle regole introdotte dall'algebra di Boole.

Formalmente, l'algebra di Boole venne introdotta nel XIX secolo da Boole allo scopo di scomporre ed analizzare in maniera algebrica problemi di logica proposizionale.

Questo tipo di logica si basa sulla presenza delle cosiddette proposizioni logiche, ovvero degli "enunciati" che possono assumere valore vero o falso. Per fare un esempio "banale", proviamo ad osservare la seguente figura.

Guardando l'immagine precedente, è facile dire che la proposizione la palla è dentro la scatola assume valore vero, così come lo assumono proposizioni del tipo la palla è verde e la scatola è blu. Ciò non vale per altre proposizioni, come ad esempio la scatola è dentro la palla oppure la scatola è rossa.

Da notare come ognuna di queste proposizioni sia atomica, o semplice, nel senso che viene espresso esclusivamente un predicato: ad esempio, il rapporto intercorrente tra palla e scatola, oppure ancora il colore di uno dei due oggetti. Un quadro completo della situazione richiederebbe l'uso di predicati composti da più proposizioni atomiche: ad esempio, la palla è dentro la scatola E la palla è verde E la scatola è blu.

L'algebra Booleana si occupa di formulare un insieme di regole per definire se i predicati composti siano veri o falsi a partire dai singoli predicati che li compongono. Per farlo, si avvale di una serie di operazioni fondamentali, che approfondiremo nella prossima lezione.